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(4.1) 1 Becquerel = 1 Bq = 1 s -1 (4.2)

51 – Natural Radioactivity 52 – Nuclear Reactions 53

(4.1) 1 Becquerel = 1 Bq = 1 s -1 (4.2) nucmedtutorials files wordpress 2016 12 System, the Basic Unit of Absolute Activity is a Bq (Becquerel) It is Equivalent to 1 disintegration per second (dps)) Unit # of Becquerel # of DPS Becquerel (Bq) 1 Bq 1 dps Kilobecquerel (KBq) 103 Bq 103 dps Megabecquerel (MBq) 106

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Becquerel = 1 Bq = 1 s

Description

Es folgt ein Abschnitt über das Zerfallsgesetz,

also über das Zeitgesetz für die radioaktiven Umwandlungen.

Der dritte Teil beschreibt ausführlich die Verfahren zur Aktivitätsanalyse und erläutert die Bedingungen für das radioaktive Gleichgewicht.

Im vierten Teil werden die Verfahren und Möglichkeiten zur Halbwertzeitbestimmung erläutert.

die in einem Zeitintervall stattfinden,

in dem diese Umwandlungen erfolgen.

A  dN / dt

(4.1)

Die SI-Einheit der Aktivität ist die reziproke Sekunde (s-1).

Sie wird zu Ehren Henri Becquerels,

des Entdeckers der Radioaktivität,

Becquerel genannt.

(4.2)

Die genaue Definition der Aktivitätseinheit lautet (§ 40 der Ausführungsverordnung zum Gesetz über Einheiten im Messwesen vom 26.

Juni 1970): (1) "Die abgeleitete SI-Einheit der Aktivität einer radioaktiven Substanz ist die reziproke Sekunde (Einheitenzeichen: s-1)." (2) "1 reziproke Sekunde als Einheit der Aktivität einer radioaktiven Substanz ist gleich der Aktivität einer Menge eines radioaktiven Nuklids,

in der der Quotient aus dem statistischen Erwartungswert für die Anzahl der Umwandlungen oder isomeren Übergänge und der Zeitspanne,

in der diese Umwandlungen oder Übergänge stattfinden,

bei abnehmender Zeitspanne dem Grenzwert 1/s zustrebt." 1 Die historische Einheit der Aktivität war die Aktivität eines Gramms des Radionuklids 226 Ra2.

Sie wurde zu Ehren von Marie Curie3,

der Entdeckerin des Radiums und des 1

Die reziproke Sekunde wurde 1977 in der zweiten Auflage des zitierten Verordnungstextes in "Bq" umbenannt.

Nach heutiger Kenntnis hat 1 g Radium-226 die Aktivität von 0,989 Curie = 3,66  1010Bq.

Marie Curie,

Sklodowska (7.

1934),

Chemikerin und Mathematikerin,

entdeckte zusammen mit ihrem Mann Pierre Curie (15.

- 19.

Poloniums,

Der Umrechnungsfaktor Curie-Becquerel wurde später gesetzlich festgelegt.

Die Verwendung der Einheit Curie ist seit 1986 nicht mehr zulässig.

Die Umrechnung ist: 1 Curie = 1 Ci = 3,70  1010 Bq = 37 GBq

(4.3)

Spezifische Aktivität: Eine weitere wichtige Aktivitätsgröße ist die spezifische Aktivität.

Sie ist der Quotient aus der Aktivität A einer Substanz und ihrer Masse m.

Für den Fall einer isotopenreinen Probe der Masse m mit N radioaktiven (instabilen) Kernen kann die spezifische Aktivität aus der Aktivität A,

der Avogadrozahl NA und der Zerfallskonstanten  berechnet werden.

A   N   m  NA N    A m m mM M

(4.4)

Spezifische Aktivitäten haben die SI-Einheit (Bq/kg) oder dezimale Vielfache davon.

Liegen Substanzen als Isotopengemische des radioaktiven mit den nicht radioaktiven Isotopen desselben Elements vor,

wird als spezifische Aktivität dieses Gemisches der Quotient aus Aktivität und Gesamtmasse bezeichnet.

Atot 

A m tot

(4.5)

Beträgt der relative (prozentuale) Gehalt an radioaktiven Nukliden in der Probe p,

erhält man die spezifische Aktivität in Analogie zu Gl.

N A   p A m tot M

(4.6)

Beispiel 4.1: Berechnung der spezifischen Aktivität des natürlichen Radionuklids Kalium-40.

Es kommt mit einer relativen Häufigkeit von 0,0117% = 0,000117 = 1,17  10-4 in der Natur vor.

Die Zerfallskonstante  berechnet man aus der Halbwertzeit T½ (nach Gl.

Die Halbwertzeit des 40K beträgt T½ = 1,248  109 a.

Da 1 a = 31,5576  106 s'gilt,

erhält man für  den Wert:  = 0,693/(1,248  109  31,5576106) s-1 = 1,76  10-17 s-1.

die Radioaktivität entdeckt hatte.

Sie erhielt 1903 zusammen mit ihrem Mann und zeitgleich mit Henri Becquerel den Nobelpreis für Physik "als Anerkennung des außerordentlichen Verdienstes,

das sie sich durch ihre gemeinsamen Arbeiten über die von Henri Becquerel entdeckten Strahlungsphänomene erworben haben".

Curie erhielt 1911 einen zweiten Nobelpreis,

"als Anerkennung des Verdienstes,

das sie sich um die Entwicklung der Chemie erworben hat durch die Entdeckung der Elemente Radium und Polonium,

durch die Charakterisierung des Radiums und dessen Isolierung in metallischem Zustand und durch ihre Untersuchungen über die Natur und die chemischen Verbindungen dieses wichtigen Elements".

Die molare Masse natürlichen Kaliums beträgt 0,0391 kg/mol.

Für die spezifische Aktivität erhält man nach Einsetzen dieser Zahlenwerte: a(tot) = 1,7610-171,1710-46,0221023/0,0391 Bq/kg = 31207 Bq/kg = 31,2 Bq/g.

In jedem Gramm natürlichen Kaliums finden pro Sekunde also 31,7 40K-Zerfälle statt.

Der menschliche Körper enthält im Mittel etwa 2,0 g Kalium pro kg Körpermasse (vgl.

Für einen 70-kg-Menschen bedeutet das 140 g Kalium im Ganzkörper bzw.

eine lebenslange Kalium-40-Aktivität von  4440 Bq.

T½ (a)

Häufigkeit p (%)

1,28109

0,0118

0,7204

8995*

99,2742

Radionuklid 40 232

235 238

Aktivität(Bq/g)

12342

Die relativen Häufigkeiten p entsprechen natürlichen Nuklidzusammensetzungen.

Die spezifischen Aktivitäten sind nach Gl.

Beispiel 4.1).

(*): spez.

Aktivität reinen 235Urans (weitere Daten in Kap.

Aktivitätskonzentration: Der Quotient aus Aktivität A und Volumen V wird als Aktivitätskonzentration cA bezeichnet.

Ihre SI-Einheit ist das (Bq/m3) oder praktischer (Bq/cm3) oder (Bq/l).

Die Angabe der Aktivitätskonzentration ist bei Flüssigkeiten oder Gasen oft sinnvoller als die der spezifischen Aktivität.

cA 

(4.7)

Quellstärke: Die Quellstärke einer radioaktiven Probe ist der Erwartungswert des Quotienten der Anzahl der aus einem radioaktiven Präparat pro Zeitintervall dt austretenden Strahlungsteilchen einer bestimmten Art oder Photonen einer bestimmten Energie dNex und diesem Zeitintervall dt.

Die Quellstärke (dN/dt) wird auch als Präparatstärke oder Emissionsrate bezeichnet.

Ihre Einheit ist die reziproke Sekunde (s-1).

Die Quellstärke sollte nicht in der Einheit Becquerel angegeben werden,

da sie sich nicht auf die Zerfälle sondern auf die austretende Strahlungsquantenzahl bezieht.

Für den Fall der verschwindenden Absorption der Strahlungsquanten im Präparat bei hoher Strahlungsquantenenergie oder punktförmigen Präparaten und der Emission nur eines Strahlungsquants pro Zerfallsakt,

sind die Zahlenwerte von Aktivität und Quellstärke gleich.

Ausbeute: Die Ausbeute an Strahlungsquanten einer bestimmten Art oder Energie bei radioaktivem Zerfall ist die pro Zerfallsakt emittierte Zahl der Strahlungsquanten.

Die relative Ausbeute wird auch als Häufigkeit bezeichnet.

Relative Ausbeuten werden entweder auf die gesamte Ausbeute bei einem Zerfall oder auf die jeweils größte Ausbeute bezogen.

Der Bezug ergibt sich oft aus dem Zusammenhang oder wird explizit angegeben.

Bei Photonenstrahlung spricht man statt von Ausbeuten auch von Intensität oder relativer Intensität (s.

Beispiele für Gamma-Umwandlungen in Kap.

Zusammenfassung  Die mittlere Zerfallsrate bzw.

Umwandlungsrate einer radioaktiven Substanz wird als Aktivität A bezeichnet.

 Die SI-Einheit der Aktivität ist das Becquerel (Bq),

die historische Einheit war das Curie (Ci).

 Die spezifische Aktivität ist die auf die Masseneinheit bezogene Aktivität.

 Die Aktivitätskonzentration ist der Quotient aus Aktivität und Volumen der Probe.

 Quellstärke ist die Anzahl der aus einem Präparat austretenden Strahlungsteilchen pro Zeiteinheit.

Sie ist im Allgemeinen nicht identisch mit der Aktivität des Präparats.

 Unter Ausbeute versteht man die Anzahl der pro Zerfallsakt emittierten Strahlungsteilchen einer bestimmten Art bzw.

Energie.

Für einen bestimmten Kern lässt sich daher der exakte Zeitpunkt seiner Umwandlung oder seines Zerfalls nicht vorhersagen.

Dagegen lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür angeben,

dass ein Kern seinen Zustand in einem bestimmten Zeitintervall dt ändert.

Diese Wahrscheinlichkeit heißt Zerfallskonstante .

Die Zerfallswahrscheinlichkeiten sind für ein bestimmtes Nuklid physikalisch wohl definierte und fast spezifische Größen und durch äußere Einflüsse kaum zu verändern4.

Für größere Kollektive lassen 4

Diese Aussage ist nur insoweit korrekt,

als die Umwandlungsvorgänge Elektroneneinfang und Innere Konversion außer Acht gelassen werden,

bei denen Hüllenelektronen beteiligt sind.

Bei diesen beiden Umwandlungsarten hat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen am Kernort einen gewissen Einfluss auf die Einfangs- bzw.

Konversionswahrscheinlichkeit.

Dies führt zu einer von der "chemischen" Umgebung des Kerns geringfügig abhängigen Lebensdauer (vgl.

auch die Ausführungen zum 99Tc-Zerfall in Kap.

3.5).

Die Spezifität experimentell ermittelter Halbwertzeiten für bestimmte Radionuklide hängt selbstverständlich von der Genauigkeit bei ihrer Bestimmung ab.

die das Verhalten dieses Kollektivs im Mittel beschreiben.

Jede aus diesen Gesetzen hergeleitete Aussage über das Verhalten eines Kollektivs instabiler Zustände ist mit einem statistischen Fehler behaftet,

je größer das Kollektiv ist.

Zur Ableitung des Zerfallsgesetzes betrachtet man zunächst ein Kollektiv aus N identischen instabilen Kernen,

die alle nur auf eine einzige Art zerfallen können.

Die Abnahme der Zahl instabiler Kerne dN pro Zeiteinheit dt ist proportional zur Zahl der instabilen Kerne im Kollektiv und zur Zerfallskonstanten .

Man erhält also: dN    N dt

(4.8)

Dies ist die differentielle Form des Zerfallsgesetzes.

Die Zerfallskonstante  ist die mittlere relative Zerfallsrate der betrachteten radioaktiven Zerfallsart.

Sie hat die Einheit einer reziproken Zeit (s-1,

Für eine bestimmte Zerfallsart und ein bestimmtes Nuklid ist also die relative Zahl der Zerfälle pro Zeiteinheit konstant ebenso wie die relative Abnahme der radioaktiven Kerne im Zeitintervall.

dN    const N  dt

(4.9)

Durch Integration dieses Gesetzes erhält man das Zerfallsgesetz in der exponentiellen Form.

N ( t )  N0  e   t

(4.10)

Dabei ist die Integrationskonstante so gewählt worden,

dass zum Zeitpunkt t = 0 gerade N0 aktive Kerne vorhanden sind.

Betrachtet man nicht die Abnahme der Atomkerne des Mutterkollektivs sondern direkt die Zahl der Zerfälle aus diesem Kollektiv,

Sie ist zahlenmäßig gleich der Abnahme der aktiven Kerne pro Zeiteinheit,

hat aber das entgegengesetzte Vorzeichen.

A

dN N dt

(4.11)

Das Zeitgesetz der Aktivität erhält man durch Multiplikation von Gleichung (4.10) mit der Zerfallskonstanten .

Da das Produkt (N) gerade die Aktivität A und (N0) gleich der Anfangsaktivität A0 ist,

A( t )  A0  e  t

(4.12)

Die Zahl e ist die Basis der natürlichen Logarithmen5.

Aktivität A und Anzahl der aktiven Mutterkerne N zeigen also die gleiche zeitliche Abhängigkeit.

Durch beidseitiges Logarithmieren der Gleichungen (4.10) und (4.12) erhält man,

da der natürliche Logarithmus und die Exponentialfunktion Umkehrfunktionen sind,

die vor allem für grafische Auswertungen vorteilhaft sind (Fig.

4.1).

 N( t )      t ln  N0 

 A( t )      t ln   A0 

(4.13)

Das Verhältnis der Aktivität A(t) zum Zeitpunkt t und der Anfangsaktivität A0 ist in halblogarithmischer Auftragungsweise also eine Gerade mit negativer Steigung.

Die Zeit,

in der die Aktivität einer Probe auf die Hälfte der Anfangsaktivität abgenommen hat,

heißt Halbwertzeit T1/2 des radioaktiven Zerfalls.

Zur Unterscheidung von anderen Halbwertzeitdefinitionen (z.

in der Strahlenbiologie oder der Physiologie) wird sie genauer auch als physikalische Halbwertzeit bezeichnet.

Der Zusammenhang von Halbwertzeit und Zerfallskonstante  ergibt sich aus folgender Gleichung6.

T1 / 2 

(4.14)

Der Kehrwert der Zerfallskonstanten wird als mittlere Lebensdauer  des Zerfalls bezeichnet.

Sie ist ebenso charakteristisch für ein bestimmtes Nuklid wie die Halbwertzeit oder die Zerfallskonstante.

T1 / 2 ln 2

(4.15)

Setzt man in Gl.

erhält man (wegen e(-) = e()=e(-1) = 1/e  0,37) als Aktivität gerade noch den (1/e)-ten Anteil (etwa 37%) der Anfangsaktivität.

Die schon in ihrem Namen enthaltene statistische Bedeutung der mittleren Lebensdauer zeigt auch die folgende Überlegung.

Kerne,

haben eine Lebensdauer von t Sekunden.

Ihre Zahl ist nach Gleichung (4.12) gerade dN(t).

Die mittlere Lebensdauer aller Kerne erhält man durch Mittelwertbildung über alle Zeitintervalle (t,

t+dt) und Zahl der Kerne im Intervall dN(t) für Zeiten zwischen t = 0 und t = .

Die Auswertung der Mittelungsintegrale liefert direkt die Beziehung (4.15).

Die Zahl e ist eine irrationale,

nicht periodische Zahl und definiert als Grenzwert des Ausdrucks (1 + 1/x)x für x  .

Ihr Zahlenwert beträgt e = 2,718281828...

20.2.1).

Zerfallskonstante und T½: Einsetzen der Halbwertzeit in Gleichung (4.12) ergibt zusammen mit der Definition der Halbwertzeit: A(T½) = 1/2 A0 = A0  exp(-T½) bzw.

Logarithmieren beider Seiten liefert ln(1/2) =

Der natürliche Logarithmus von 2 hat etwa den Wert ln2 = 0,69315  0,7.

4.20,

4.21).

Links: doppeltlineare Darstellung,

rechts: halblogarithmische Darstellung.

Beide Kurven sind universell für beliebige Nuklide verwendbar,

da die Zeiten in Einheiten der Halbwertzeit aufgetragen sind.

Aktivitäten für Zwischenzeiten können grafisch interpoliert werden.

 t  dN ( t )  dN ( t )

  t    N0  e     N0  e

(4.16)

Mit mittlerer Lebensdauer  und Halbwertzeit T1/2 kann man das Zeitgesetz der Radioaktivität für die Zahl der Restkerne N oder die Aktivität A auch folgendermaßen schreiben:

N(t)  N 0  e

A( t )  A0  e

Eine für die praktische Arbeit gut geeignete Darstellung des Zerfallsgesetzes erhält man,

wenn man den Exponentialausdruck nach den Regeln der Potenzrechnung als Doppelpotenz umformt.

(4.19)

Da zudem e-ln2 = 1/2 gilt,

erhält man als weitere mathematische Formen des Zerfallsgesetzes:

N( t ) 

Zeit (n  T½)

A( t )  2

Aktivität (2-n)

(4.20)

12,5%

6,25%

1/128

1/256

1/512

1/1024

4.21).

Näherungsweise gelten folgende grobe Faustregeln: Nach 3-4 Halbwertzeiten verbleiben 10%,

nach 6-7 Halbwertzeiten 1% und nach 10 Halbwertzeiten 1 Promille der Anfangsaktivität.

Diese Schreibweise des Zerfallsgesetzes ist besonders für grobe Abschätzungen der Restaktivität nützlich,

wenn die Zeiten in Einheiten der Halbwertzeit gemessen werden.

Beträgt die Zeit t gerade n Halbwertzeiten,

vereinfacht sich die rechte Seite in Gl.

(4.21)

Die Restaktivität nach n Halbwertzeiten erhält man also durch n-faches Halbieren der Anfangsaktivität,

was wegen der Definition der Halbwertzeit natürlich nicht verwunderlich ist.

Diese Darstellung ist auch günstig für die Konstruktion einer universellen,

für alle Nuklide verwendbaren Zerfallskurve,

da die Zeitachse ja in Einheiten der Halbwertzeit geteilt wird (Tab.

4.1).

Zerfallskonstante und Halbwertzeit bei konkurrierenden Zerfällen*: Gibt es für einen angeregten oder radioaktiven Kern alternative Zerfallsmöglichkeiten,

muss man die Zerfallskonstanten dieser Zerfallsarten addieren.

Die Gesamtzerfallswahrscheinlichkeit tot ist dann die Summe der n Einzelwahrscheinlichkeiten i.

 tot  1   2   3  ...

(4.22)

Für die Halbwertzeit und die mittlere Lebensdauer ergibt diese Beziehung zusammen mit den Gleichungen (4.14) und (4.15):

T1tot/ 2  ln 2 

(4.23)

(4.24)

Bei konkurrierenden Zerfallskanälen und bekannten partiellen Zerfallskonstanten kann die Halbwertzeit bzw.

die mittlere Lebensdauer also aus dem Kehrwert der Summe der partiellen Zerfallswahrscheinlichkeiten berechnet werden.

In Tabellen oder Nuklidkarten angeführte experimentelle Halbwertzeiten oder mittlere Lebensdauern beziehen sich immer auf die totale Zerfallswahrscheinlichkeit.

Zur Berechnung der Restaktivität eines Präparates muss daher immer die totale Zerfallskonstante,

die Lebensdauer oder die Halbwertzeit verwendet werden.

Bei einer gegebenen Halbwertzeit ist es für die zeitliche Aktivitätsänderung unwichtig,

ob gleichzeitig mehrere partielle Zerfallskanäle existieren.

Für die Ausbeute der Zerfallsprodukte ist es dagegen von erheb-

welche Zerfallsalternativen bestehen,

und welche Tochternuklide vorherrschend oder ähnlich wahrscheinlich sind.

Typische Alternativzerfälle desselben Radionuklids sind Elektroneneinfang und Zerfall bzw.

die häufig bei schweren Kernen miteinander konkurrieren.

Selbst konkurrierende - und -Zerfälle sind bei einigen Radionukliden zu beobachten.

Solche konkurrierend zerfallenden Betastrahler erkennt man in der Nuklidkarte leicht an ihrer Farbenpracht.

Kombinierte +- und -Strahler sind gleichzeitig blau und rot gekennzeichnet (Beispiele: 138Lanthan,

112Indium,

Ein besonders "vielseitiges" Radionuklid ist 242Americium,

das alternativ über Elektroneneinfang,

Innere Konversion,

-Zerfall und spontane Spaltung zerfallen kann.

Beispiel 4.2: Zerfallswahrscheinlichkeiten des Jod-128.

zu p(2) = 0,003% über +-Zerfall und zu p(3) = 6% über Elektroneneinfang in Zustände des Tellur128.

Die partiellen Zerfallswahrscheinlichkeiten berechnet man aus (i) = p(i)  (tot).

Ihre Werte sind daher: () = 2,60610-2 min-1,

(EC) = 1,6610-3 min-1 und () = 8,3210-8 min-1.

Beispiel 4.3: Partielle Zerfallswahrscheinlichkeiten für Wismut-212.

Die totale Zerfallswahrscheinlichkeit beträgt deshalb nach Gl.

Die partiellen Zerfallswahrscheinlichkeiten betragen () = 0,412  10-3 min-1 und () = 0,732  10-3 min-1.

Wismut-212 ist ein Glied der natürlichen Thoriumzerfallsreihe (s.

Biologische Halbwertzeit: Neben der physikalischen Halbwertzeit spielt in Biologie und Medizin auch die so genannte biologische Halbwertzeit eine wichtige Rolle.

Biologische Halbwertzeiten können immer dann angegeben werden,

wenn die Verstoffwechselung und Ausscheidung einer Substanz nach einer Exponentialfunktion stattfinden,

also die ausgeschiedene Menge ein konstanter prozentualer Anteil der Restsubstanz im Körper ist.

Die mathematische Form der Ausscheidungsfunktion ist dann identisch mit der des Zerfallsgesetzes.

Werden radioaktive Substanzen inkorporiert,

kommt es außer zur Ausscheidung auch zum Zerfall des Nuklids mit der physikalischen Lebensdauer.

Die radioaktive Restsubstanz im Körper wird also durch Zerfall und Ausscheidung vermindert.

Die Summe der radioaktiven Stoffmengen innerhalb und außerhalb des Organismus verändert sich allerdings nach wie vor ausschließlich mit der physikalischen Lebensdauer.

Wenn Ausscheidung und Zerfall also nach Exponentialfunktionen verlaufen,

können in formaler Anlehnung an die partiellen physikalischen Halbwertzeiten physikali-

sche und biologische Halbwertzeit definiert werden.

Die resultierende oder effektive Halbwertzeit wird aus der reziproken Summe der partiellen Halbwertzeiten berechnet.

Man erhält:

Teff 

Tph  Tbiol T ph  Tbiol

(4.25)

Bei gleicher physikalischer und biologischer Halbwertzeit vereinfacht sich diese Gleichung zu:

Teff 

Tph 2

Tbiol 2

(4.26)

Beispiel 4.4: Effektive Halbwertzeit von Jod-131 bei der nuklearmedizinischen Schilddrüsen-Therapie.

Jod-131 wird in der Nuklearmedizin zur Therapie von Schilddrüsenerkrankungen verwendet (Autonome Adenome,

Überfunktionen,

Karzinome).

Dazu wird das radioaktive Jod in flüssiger Form oder als Kapseln dem Patienten verabreicht.

      2,249 MeV

(4.27)

(4.28)

Die physikalische Halbwertzeit des Jod-131 beträgt 8,0228 d,

die Energie des intensivsten Gammaüberganges 364 keV.

Für den lokalen therapeutischen Effekt sind vor allem die Betateilchen verantwortlich,

da sie in einer etwa 2-3 mm langen Strecke noch innerhalb der Anreicherungszone der Schilddrüse abgebremst werden und dabei ihre Energie auf das erkrankte Gewebe übertragen.

Die harte Gammastrahlung verlässt zu über 90% die Schilddrüse und stellt deshalb neben dem Kontaminations- und Inkorporationsrisiko ein erhebliches zusätzliches Strahlenschutzproblem für das medizinische Personal dar.

Die typische biologische Halbwertzeit von Schilddrüsenkranken für Jod-131 beträgt bei Überfunktionen 24 Tage.

Für die effektive Halbwertzeit ergibt Gl.

Diese Halbwertzeit muss der therapeutischen Dosisberechnung und den Strahlenschutzberechnungen zugrunde gelegt werden.

Bei sehr ausgeprägter Überfunktion der Schilddrüse oder versehentlicher Gabe von jodhaltigem Kontrastmittel verkürzen sich die effektiven Halbwertzeiten auf Werte um 4 Tage.

Dies bedeutet nach Gleichung (4.26) biologische und physikalische Halbwertzeiten von je 8 Tagen7.

Typische empirische Referenzwerte für effektive Halbwertzeiten bei SD-Erkrankungen sind 6,3 d'bei multifokaler Autonomie und Verkleinerung einer blanden (gutartigen) Struma,

Oft zeigen die klinischen Ausscheidungsfunktionen mehrere zeitliche Komponenten,

keiner einfachen Exponentialfunktion.

sondern zerfallen über weitere radioaktive Umwandlungen.

Das Zeitgesetz der Radioaktivität für eine solche Serie von Zerfällen gilt dann nicht mehr in der bisher beschriebenen einfachen Form.

Bei der Frage nach der zu einem Zeitpunkt vorhandenen Zahl einzelner Zerfallsprodukte müssen Be- und Entvölkerung jedes einzelnen Tochternuklids bzw.

angeregten Zustands im Tochternuklid berücksichtigt werden.

Nuklidmengen,

Halbwertzeiten,

Lebensdauern und Zerfallskonstanten der aufeinander folgenden Generationen sollen dazu mit Indizes 0,1,2,...,n bezeichnet werden.

Dann bedeutet n = 0 das Mutternuklid,

Zur Zeit t = 0 soll außerdem nur das Mutternuklid mit N0 Kernen existieren.

Für die Bildung und den Zerfall der Nuklide jeder einzelnen Generation lässt sich die nachfolgende Bilanz (Gln.

Dabei entsprechen alle negativen Glieder einer Abnahme der jeweiligen Nuklidzahl (Zerfall) und alle positiven Glieder einer Bildung radioaktiver Kerne der jeweiligen Folgegeneration (Bevölkerung).

Zur Analyse sei außerdem vorausgesetzt,

dass das Mutternuklid in reiner Form vorliegt,

nur über einen Zerfallskanal mit einer Halbwertzeit in das Tochternuklid zerfallen kann und sämtliche Nuklide der Tochtergenerationen ebenfalls nur eine einzige Zerfallsmöglichkeit in den unmittelbaren Nachfolger haben.

Generation:

dN0/dt =

Generation:

dN1/dt = + 0N0

dN2/dt = + 1N1

Generation:

dNn/dt = + n-1Nn-1

(4.29)

Die Nuklide jeder Generation werden also mit der Zerfallskonstanten des Vorgängers gebildet und zerfallen mit ihrer eigenen Lebensdauer.

Dabei ist zu beachten,

dass der Ausdruck (dNi/dt) auf der linken Seite dieses Gleichungssystems die zeitlichen Änderungen der Zahl der aktiven Kerne der Generation i bedeutet.

Diese können größer oder kleiner sein als Null,

wenn mehr Kerne zerfallen oder mehr Kerne gebildet werden.

Die zeitliche Änderung der aktiven Kerne ist also im Allgemeinen nicht identisch mit den Aktivitäten Ai(t),

die ja ausschließlich die Zahl der pro Zeiteinheit zerfallenden Kerne angibt.

Zerfallen alle Tochterzustände (1,

also ohne messbare Lebensdauer,

bestimmt offensichtlich ausschließlich die Zerfallsrate des Mutternuklids (n = 0) den radioaktiven Zerfall.

In diesem Fall gilt das Zerfallsgesetz in der bisher beschriebenen einfachen Form.

In allen anderen Fällen muss eine so genannte Aktivitätsanalyse durchgeführt werden.

Zur Lösung der Gleichungen (4.29) wählt man folgenden Lösungsansatz für die Nuklidzahlen:

Generation:

N0 ( t )  K00  e  0 t

Generation:

N1( t )  K10  e  0 t  K11  e 1 t

Generation:

N 2 ( t )  K 20  e  0 t  K 21  e  1 t  K 22  e  2 t

Generation:

N n ( t )  K n0  e 0 t  K n1  e  1 t  ...

(4.30)

Für die Konstanten K vor den Exponentialgliedern erhält man die Rekursionsformel (4.31).

Sie enthält die Anfangsbedingungen und die Verhältnisse von Zerfallskonstanten und ist nur für ungleiche Indizes (ij) definiert.

Kij  Ki 1 j 

(4.31)

Die aktuellen Werte der Konstanten Kii für gleiche Indizes (i = j) muss man in jedem Einzelfall aus den Anfangsbedingungen berechnen.

Unter Anfangsbedingungen versteht man die Nuklidzahlen-Verhältnisse zum Zeitpunkt t = 0.

Unter den oben gemachten Voraussetzungen sind zum Zeitpunkt t = 0 alle Nuklidzahlen Null außer der des Mutternuklids,

das aus N0 Kernen besteht (alle Ni = 0 außer N0 zur Zeit t = 0).

Ähnliche Anfangsbedingungen erhält man für die Aktivitäten aller Generationen.

Auch hier gilt wieder,

dass die Aktivitäten aller Tochter-Generationen zu Beginn alle Null sind (Ai(t = 0) = 0,

die Aktivität der N0 Kerne der Muttergeneration zum Zeitnullpunkt betrage A0.

Wie dieser Lösungsansatz und die Anfangsbedingungen praktisch angewendet werden,

zeigen die folgenden Beispiele für einfache Zerfallssituationen.

Aktivitätsanalyse für ein instabiles Tochternuklid: Das wichtigste Beispiel einer Aktivitätsanalyse ist der Fall n = 2,

eine Zerfallsfolge mit einem instabilen Tochternuklid ohne die Möglichkeit alternativer Zerfallskanäle.

In diesem Fall erhält man folgendes Gleichungssystem:

N0 ( t )  K00  e  0 t

(4.32)

N 1 ( t )  K 10  e  0 t  K 11  e  1 t

(4.33)

Die Konstanten K00,

K10 und K11 erhält man durch folgende Überlegung aus den Anfangsbedingungen.

Zur Zeit t0 ist die Zahl der Mutternuklide N0.

Es gilt also K00 = N0.

Die Zahl der Tochternuklide für t0 ist Null,

da zu Beginn noch kein Mutterkern zerfal-

Da die beiden Exponentialfunktionen in den Gleichungen (4.32,

erhält man für die beiden Konstanten K10 und K11 die Bilanz:

K10 =

(4.34)

Es ist also ausreichend,

mit Hilfe der Rekursionsformel (4.31) zu berechnen.

Gleichung (4.31) liefert K10 = K000(1 0)